线性时不变系统对复指数信号的响应：输出仍然是复指数信号。如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合。
那么问题来了，究竟有多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示？
用复指数表示很方便，而用三角函数表示看起来就繁琐了许多，所以我们都采用复指数表示。
连续时间周期信号可以用傅立叶级数表示的条件：
狄利克雷条件：
- 在任何周期内，x(t) 绝对可积
- 在任意有限区间内，x(t) 具有有限个起伏变化
- 在 x(t) 的任何有限区间，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值
自然界大多数信号都是满足狄利克雷条件的。
在不连续点会产生吉布斯现象。
离散时间周期信号的傅立叶级数表示：
离散时间复指数信号：
$$\phi_k[n]=e^{jk\omega_0n}=e^{jk(\frac{2\pi}{N})n}, \ \ k=0,\pm1,\pm2….$$
上式信号中，只有 N 个信号是不相同的 \(\phi_0[n]=\phi_N[n],\phi_1[n]=\phi_{N+1}[n]\)
我们希望用 \(\phi_k[n]\) 的线性组合来表示更为一般的周期序列，所以整个求和只包含了 N 项。
周期信号 x(t) ，傅立叶级数表示为：
$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0t}$$
将该信号加入单位冲激响应为 h(t) 的线性时不变系统，那么输出就是：
$$y(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k H(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$$
滤波：改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者消除某些频率分量。
频率成形滤波器：用于改变频谱形状的线性时不变系统。比如微分滤波器主要用于边缘的增晰。
频率选择滤波器：用于衰减或消除一些频率，基本无失真的通过一些频率的线性时不变系统。比如在一个音频录制系统。如果噪声比录制的音乐频率更高，可以通过频率选择滤波器将噪声过滤掉。
在许多应用中，频率选择滤波器是用线性常系数微分方程或差分方程描述的线性时不变系统来实现的。
非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换。可以把非周期信号当成一个周期信号在周期任意大时的极限来看待。
$$x(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t}d\omega$$
$$X(j\omega)= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t}dt$$
\(X(j\omega)\) 通常被称为 x(t) 的频谱，它告诉我们将 x(t) 表示为不同频率正弦信号的线性组合所需要的信息。
傅立叶变换的收敛：与傅立叶级数收敛条件一致，狄利克雷条件。
周期信号同样可以建立傅立叶变换：
考虑一组冲击函数的线性组合：
$$X(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2\pi a_k \delta(\omega-k\omega_0)$$
这个变换的逆变换是：
$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jkw_0 t}$$
所以一个傅立叶级数系数为 \(a_k\) 的周期信号的傅立叶变化，可以看成出现在成谐波关系的频率上的一串冲击函数。
帕斯瓦尔定理：信号 x(t) 的总能量既可以按每单位时间能量 \(|x(t)|^2\) 在整个时间内积分积出来，也可以按每单位频率内的能量 \(\frac{|X(j \omega)|^2}{2 \pi}\) 在整个频率范围内积分积出来，所以 \(|X(j \omega)|^2\) 也被称为能谱密度。
卷积性质：
$$y(t)=h(t)*x(t) \Longleftrightarrow^{\mathcal{F}} \ Y(j \omega) = H(j\omega)X(j\omega)$$
该式表示将两个信号的卷积映射为傅立叶变换的乘积（时域内的卷积对应频域内的乘积）。
相乘性质：
时域内的相乘对应频域内的卷积，这可以理解为幅度调制。
$$r(t)=s(t)p(t) \iff R(j\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S(j\theta)P(j(\omega-\theta))$$
